Нова постановка крайової 2π-періодичної задачі для гіперболічного рівняння другого порядку в асимптотичній теорії нелінійних коливань

Abstract

До цього часу асимптотичними методами Крилова-Боголюбова- Митропольського-Мосеснкова досліджувалися гіперболічні рів­няння другого порядку з малим параметром е у правій частині при умові, коли незбурене ( є = 0) рівняння мас розв’язок у вигляді три­гонометричного ряду Фур’є. Ці ж методи з припущенням мализни параметра є дозволили будувати наближений розв’язок крайової періодичної задачі для гіперболічного рівняння другого порядку, права частина якого містить малий параметр є , ліва частина - утво­рена оператором Даламбера. У процесі дослідження логічно виникає запитання, при яких умовах незбурене (.5 - 0 ) рівняння має розв’язок у вигляді тригонометричного ряду Фур’є. їх встановленню присвячена дана робота. У першій частині роботи розглянуто незбурене рівняння, у лівій ча­стині якого є оператор Даламбера, у правій частині довільна фун­кція / ( х , ї ) . З використання операторного методу побудовано фор­мальний розв’язок вказаного рівняння. Обґрунтовано ряд теорем і лем, які встановлюють умови існування класичного розв’язку кра­йової 2л- -періодичної ио змінній х задачі для незбуреного рівняння. При цьому визначено конкретний клас функцій /( х , І) , у якому вка­зана вище задача мас класичний розв’язок. Виділено підклас функ­цій /( х ц ) , у якому класичний розв’язок поставленої задачі є непар­ною функцією, а, отже, з врахуванням 2п -періодичності розклада­ється у тригонометричний ряд Фур’є по синусах. Отримані результати дають можливість побудувати наближений розв’язок квазілінійної крайової 2тг -періодичної по змінній х за­дачі для гіперболічного рівняння другого порядку, права частина якого с функція г77 (х ,і,ц )з малим параметром є . У другій частині роботи наведено схему побудови наближеного розв’язку. Як ну­льове наближення взято зображення класичного розв’язку крайової 2л -періодичної по змінній х задачі для незбуреного рівняння, вста­новленого в першій частині роботи

Until now the hyperbolic second order equations with small parameter e in right side have been researched by asymptotic methods of Krylov-Bo holiubov-Mytropolskyi Moseienkov provided that undisturbed ( i: - 0) equation had solution as trigonometric Fourier senes. With the assump­tion of the parameter e is very small these methods allow to build an approximate solution of the boundary-value periodic problem for hyper­bolic second order equation in which right side has small parameter e and left side is formed by the operator of D’Alembert. In the process of research a logical question arises under which conditions the undisturbed ( e = 0 ) equation has solution as trigonometric Fourier series. Our work is devoted to establishment of such conditions. In the first part of the article we consider the undisturbed equation in the left part of which there is the D’Alembert operator and on the right side there is an arbitrary function f(x ,t) . Using the operator method, a for­mal solution of this equation is constructed. The theorems and lemmas that establish the conditions for the existence of a classical solution to the boundary-value 2/r -periodic in x problem for an undisturbed equation are proved. The specific class of functions in which the above problem has a classical solution is defined. The subclass of functions in which the classical solution to the problem is an odd function and hence taking into account 2rr -periodicity decomposes into a trigonometric sine series is selected. The obtained results make it possible to construct an approximate solution to a quasilincar boundary-value -periodic in x problem for a hyper­bolic second order equation right side of which is a function eF (x, t, u) with small parameter e . In the second part of the article the scheme of constructing an approximate solution is given. As a zero approximation, we take the representation of the classical solution to the boundary-value 2,t -periodic in x problem for the undisturbed equation established in the first part of the article.