Про один спосіб побудови Т-періодичних розв’язків рівнянь гіперболічного типу

Abstract

При дослідженні розв’язків квазілінійних рівнянь гіперболічного типу другого порядку асимптотичними методами Крилова-Боголюбова-Митропольського завжди доводилося враховувати нульові за просторовою змінною крайові умови шуканого розв’язку незбуреного квазілінійного рівняння. При розгляді ряду технічних проблем також поставало питання, щоб знайдені розв’язки були періодичними. У зв’язку з цим виникла проблема дослідження крайових Т-періодичних задач для гіперболічних рівнянь другого порядку, права частина яких містить ε – малий параметр. Цьому питанню присвячено багато робіт, як українських так і закордонних математиків, основним недоліком яких, на нашу думку, є використання методу відшукання розв’язку за допомогою тригонометричного ряду Фур’є. У 1984 році вперше чеськими математиками О. Вейводою та М. Штедри було зазначено, що дану проблему можна вирішити аналітичним методом, не вимагаючи додаткових умов при диференціюванні рядів Фур’є і не розв’язуючи зчисленну множину звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. У даній роботі досліджується нова постановка задачі: як провести математичне моделювання розв’язку задачі. Розв’язок вказаного рівняння складається із суми двох розв’язків: розв’язку незбуреного рівняння (ε=0) та розв’язку збуреного рівняння (ε≠0), права частина якого містить T – періодичну по t функцію . Щоб провести математичне моделювання розв’язку незбуреного рівняння нами у даній роботі вперше знайдено аналітичну формулу розв’язку крайової Т-періодичної задачі для незбуреного рівняння, використовуючи результати монографії Митропольського Ю. О., Хоми Г. П., Гром’яка М. І. [1]. На основі операторів та знайдено точну аналітичну формулу розв’язку крайової Т-періодичної задачі для неоднорідного гіперболічного рівняння другого порядку вигляду .

To research the solutions of quasi-linear second-order hyperbolic equations by the asymptotic Krylov-Boholubov-Mytropolskyi method, one always had to take into account the zero space variable boundary conditions of the solutions to an undisturbed quasi-linear equation. In considering a number of technical problems, the question also arose that the found solutions were periodic. In this connection, a problem is in the study of boundary-value T-periodic problems for hyperbolic the second order equations, the right side of which contains ε (ε is a small parameter). A lot of works of both Ukrainian mathematicians and foreign ones are devoted to this problem. The main disadvantage, in our opinion, is the method for finding a solution using the Fourier trigonometric series. In 1984, for the first time, the Czech mathematicians O. Veivoda and M. Shtedry stated that this problem can be solved by analytical method without requiring the additional conditions for the differentiation of Fourier series and without solving a number of the ordinary second order differential equations. In this paper, a new problem statement is investigated: how to conduct a mathematical modeling of the solution of the problem , , ? The solution of this equation consists of the sum of two solutions: the solution of the undisturbed equation (ε = 0) and the solution of the disturbed equation (ε ≠ 0), the right side of which contains the T-periodic of t function . To carry out mathematical modeling solution undisturbed equation in this paper we first found an analytical formula for solving of the boundary-value T-periodic problem for the undisturbed equation using the results of the monograph Y. O. Mytropol’skyi, H. P. Khoma and M. I. Hromyak [1]. On the basis of operators and , we find an exact analytic formula for the solution to the boundary-value T-periodic problem for a non-homogeneous hyperbolic the second order equation .