Дослідження Т-періодичних розв’язків рівнянь гіперболічного типу

Abstract

Як показано в багатьох класичних підручниках з теорії звичайних диференціальних рівнянь, щоб існував Т-періодичний розв’язок рівняння Lu = f (x, t, u), потрібно, щоб права частина рівняння f (x, t, u) була Т-періодичною по t, тобто f (x, t+Т, u) = f (x, t, u). Зауважимо, що не кожне рівняння при такій умові може мати Т-періодичний розв’язок. Прикладом такого твердження є звичайне диференціальне рівняння dx / dt = sin2t, розв’язок якого не є періодичним. Для дослідження існування Т-періодичних розв’язків звичайних диференціальних рівнянь та їх систем А. М. Самойленком був розроблений чисельно-ана- літичний метод побудови Т-періодичних розв’язків звичайних диференціальних рівнянь і систем. Результати, одержані А. М. Самойленко, були використані для дослідження Т-періодичних розв’язків багатьох нових класів звичайних диференціальних рівнянь і навіть захопили задачу Гурса для рівнянь у частинних похідних. Зазначимо, що крайові Т-періодичні задачі для більш загального диференціального рівняння у частинних похідних не були досліджені аналітичним методом. Вперше у даній роботі нами показано методику дослідження Т-періодичних розв’язків крайової Т-періодичної задачі для більш загального диференціального рівняння у частинних похідних 2u / t2 – a22u /x2 = f (x, t, u, ut, ux). Використано таке просте твердження: функція К (x, t), визначена через інтеграл з межами від t – b до t + b, для кожної Т-періодичної по τ функції g (x, τ), тобто g (x, τ + Т) = g (x, τ), є також Т-періодична по t. Знайдена формула автоматично задовольняє крайові та Т-періодичні умови: u (0, t) = u (π, t) = 0, u (x, t + Т) = u (x, t), 0 ≤ х ≤ π, t  R. Одержані в даній роботі результати можна використовувати для дослідження багатьох класів диференціальних рівнянь у частинних похідних гіперболічного типу.

As shown in many classical textbooks on ordinary differential equations a T-periodic solution to the equation Lu= f (x, t, u) will exist if the right-hand side of the equation f (x, t, u) is T-periodic in t (f (x, t+Т, u) = = f (x, t, u)). Note that not every equation in such condition can have a T-periodic solution. As an example of such statement is the ordinary differential equation dx /dt =sin2t, whose solution is not periodic. To study the existence of T-periodic solutions of ordinary differential equations and their systems, A. M. Samoylenko developed a numerical-analitycal method for constructing T-periodic solutions to the ordinary differential equations and their systems. The results obtained by A. M. Samoylenko were used to study T-periodic solutions to many new classes of ordinary differential equations and also the Gours problem for partial differential equations 2u /(tx) = F (x, t, u, ut, ux). Note that the boundary-value T-periodic problems for a more general differential equation in partial derivatives were not investigated by the analytical method. For the first time in this work we have shown a method for studying T-periodic solutions to a boundary-value T-periodic problem for a more general differential equation in partial derivatives 2u /t2 – a22u /x2 = f (x, t, u, ut, ux). The following simple assertion has been used: the function K (x, t) defined by an integral with limits from t – b to t + b for each T-periodic in τ function g (x, τ), that is g (x, τ+Т) = g (x, τ), is also T-periodic in t. The found formula automatically satisfies the boundary and T-periodic conditions: u (0, t) = u (π, t) = 0, u (x, t + Т) = u (x, t), 0 ≤ х ≤ π, t  R. The obtained in this paper results can be used to study many classes of differential equations in partial derivatives of hyperbolic type.