Математичне моделювання коливних процесів у смузі

Abstract

Крайові періодичні задачі для диференціальних рівнянь у чаcтинних похідних, зокрема гіперболічних рівнянь, є складним та неоднозначним об’єктом дослідження. Крайові задачі з даними на всій границі області, а також задачі з нелокальними (в тому числі інтегральними) умовами для гіперболічних рівнянь в обмежених областях є, взагалі кажучи, умовно коректними. Деякі автори пов’язують розв’язність таких задач із проблемою малих знаменників та використовують при розв’язанні методи нелінійного функціонального аналізу, теорії неявних функцій, варіаційні методи. Інші ж при дослідженні крайових періодичних задач для гіперболічних рівнянь другого порядку використовують аналітичні методи та у своїх роботах будують інтегральні оператори і розв’язок шукають у спеціально визначених просторах неперервно диференційованих функцій для конкретних випадків періодичності. У даній роботі знайдено аналітичну формулу функції v (x, t), яка є розв’язком крайової 2π-періодичної за часовою змінною задачі у класі непарних функцій, для яких виконується умова f (t) = – f (π – t). Встановлені властивості даної функції та наведені оцінки розв’язку крайової 2π-періодичної за часовою змінною задачі. Результати дослідження використовуються для математичного моделювання коливних процесів, що описуються гіперболічними рівняннями другого порядку. На основі знайденої функції можна робити висновки про поведінку розв’язку незбуреного рівняння (ε = 0, ε — малий параметр) при дослідженні загального нелінійного гіперболічного рівняння другого порядку асимптотичними методами.

The boundary-value periodic problem for differential equations in partial derivatives, including hyperbolic equations, are complicated and controversial subject to study. Boundary-value problems with data throughout the border region as well as the problem of non-local (including integrated) conditions for hyperbolic equations in limited areas are, generally speaking, relatively correct. Many authors link the solvability of such problems with the problem of small denominators and use the methods of nonlinear functional analysis, the theory of implicit functions, variation methods. Another authors use the analytical methods in the research of periodic boundary-value problems for the second order hyperbolic equations. They construct integral operators and search the solutions in specially defined spaces of continuously differentiated functions for specific cases of periodicity. In this paper we find an analytic formula of the function v(x, t), which is a solution of the boundary-value 2π-periodic time-varying problem in the class of odd functions for which f (t) = – f(π – t). The properties of this function are established and the estimates of the solution of the boundary-value 2π-periodic problem are given. The results of the study are used for mathematical modeling of oscillating processes described by the second order hyperbolic equations. On the basis of the found function v(x, t) we can draw conclusions about the behavior of the solution of the undisturbed equation (ε = 0, ε is a small parameter) in the study of the general nonlinear the second order hyperbolic equation by the asymptotic methods.